ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟ

Παράδειγμα.1
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^2-5x+9$ Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ στο σημείο της $A(2,f(2)).$

Λύση
Έστω $(\epsilon): y-f(x_{0})= f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})$ η εξίσωση της εφαπτομένης της $C_{f}$ στο σημείο $A\Big(x_{0},f(x_{0})\Big)\in C_{f}$
Συνεπώς για να βρούμε την εφαπτομένη αρκεί να υπολογίσουμε τα $x_{0}, f(x_{0})$ και $f'(x_{0})$
Απο υπόθεση $x_{0}=2$ οπότε

$f(2)= 2^2-5\cdot2+9\Leftrightarrow f(2)=3$

Επίσης για κάθε $x\in\mathbb{R}$ είναι: $f'(x)=2x-5$
Άρα είναι: $f'(2)=-2\cdot2-5=-1$
Επομένως η εφαπτόμενη της $C_f$ στο σημείο της $A(2,f(2))$ έχει εξίσωση:

$\begin{align*} &y-f(2)=f'(2)(x-2) \Leftrightarrow\\ &y-3=-1(x-2) \Leftrightarrow y=-x+5 \end{align*}$

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟ

Παράδειγμα.2

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= -x^{2}+2x.$ Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $C_{f},$ που διέρχονται απο το σημείο $M(1,2).$

Λύση

Έστω $(\epsilon): y-f(x_{0})= f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})$ η εξίσωση της εφαπτομένης της $C_{f}$ στο σημείο $A\Big(x_{0},f(x_{0})\Big)\in C_{f}$
Συνεπώς για να βρούμε την εφαπτομένη αρκεί να υπολογίσουμε τα $x_{0}, f(x_{0})$ και $f'(x_{0})$

Απο την εκφώνηση, έχουμε ότι το σημειο $M(1,2)\nin C_{f},$ αφού για $x=1,$ το $f(1)=-1^{2}+2\cdot 1=1\neq 2.$

Οπότε το σημείο $M(1,2)$ ανήκει μόνο στην εφαπτομένη $(\epsilon).$

Συνεπώς με $f(x_{0})=-x_{0}^{2}+2x_{0}\,\, (1)$ και $f'(x_{0})=-2x_{0}+2\,\, (2)$ έχουμε:

$\begin{align*} M(1,2)\in (\epsilon): & y-f(x_{0})= f'(x_{0})\cdot(x-x_{0}) \xRightarrow[y=2]{x=1} \\\\ & 2-f(x_{0})= f'(x_{0})\cdot(1-x_{0}) \xRightarrow[(2)]{(1)} \\\\ & 2+x_{0}^{2}-2x_{0}= (-2x_{0}+2)\cdot(1-x_{0}) \Rightarrow \\\\ & 2+x_{0}^{2}-2x_{0}= -2x_{0}+2x_{0}^{2}+2-2x_{0} \Rightarrow \\\\ & 2+x_{0}^{2}-2x_{0}+2x_{0}-2x_{0}^{2}-2+2x_{0}=0 \Rightarrow \\\\ & -x_{0}^{2}+2x_{0}=0 \Rightarrow \\\\ & x_{0}^{2}-2x_{0}=0 \Rightarrow\\\\ &x_{0}\cdot(x_{0}-2)=0 \Rightarrow\begin{cases} x_{0}=0,\\ x_{0}=2\\ \end{cases} \end{align*}$

Οπότε για

$x_{0}=0 \,\, \text{έχουμε} \begin{cases} (1)\Rightarrow f(0)=0\\ (2)\Rightarrow f'(0)=2\\ \end{cases}$

και εξίσωση εφαπτομένης $(\epsilon_{1}): y=2x$
και για

$x_{0}=2 \,\,\text{έχουμε} \begin{cases} (1)\Rightarrow f(2)=0\\ (2)\Rightarrow f'(2)=-2\\ \end{cases}$

και εξίσωση εφαπτομένης $(\epsilon_{1}): y=-2x+4.$

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

2 απαντήσεις στο “ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟ”

Ο/Η Giannis λέει:

7 Απριλίου 2019 στις 07:05

Στο παράδειγμα 1, στον υπολογισμό της f'(2) λείπει ένα ίσον. Ευχαριστώ

Απάντηση
1. Ο/Η Νίκος Διακόπουλος λέει:
  
  8 Απριλίου 2019 στις 06:59
  
  Σας ευχαριστώ πολύ για την υπόδειξη.
  
  Απάντηση

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟ

2 απαντήσεις στο “ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟ”

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά