Γ Λυκείου / ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2 σχόλια
Print Friendly, PDF & Email

ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ


Έστω f: A \rightarrow \mathbb{R} μια συνάρτηση, για να βρούμε την αντίστροφη της f εργαζόμαστε ως εξής:

  • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι 1-1.
  • Θέτουμε f(x)=y οπότε είναι x=f^{^{-1}}(y).
  • Λύνουμε την εξίσωση f(x)=y ως προς x, βάζοντας,
    όπου χρειάζεται τους αναγκαίους περιορισμούς για το y.
  • Η συναλήθευση των περιορισμών για το y μας δίνουν το σύνολο τιμών της f, το οποίο είναι το πεδίο ορισμού της f^{-1}.
  • Αν η λύση της εξίσωσης y=f(x) ως προς x ειναι η x=g(y), τότε έχουμε f^{-1}(y)=g(y). Θέτουμε όπου y το x και έχουμε έτσι τον τύπο της f^{-1}.


Παράδειγμα.

Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}.

Λύση

Η συνάρτηση f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1} ορίζεται όταν:

    \[x+1\neq 0 \Leftrightarrow x\neq -1\]

Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο:

    \[A_{f}=\mathbb{R}-\lbrace -1 \rbrace\]

Έστω x_{1},x_{2}\in A_{f} με f(x_{1})=f(x_{2}). Έχουμε:

    \begin{align*} f(x_{1})&=f(x_{2})\Rightarrow\\\\ \frac{3x_{1}-2}{x_{1}+1}&=\frac{3x_{2}-2}{x_{2}+1}\Rightarrow\\\\ (3x_{1}-2)\cdot (x_{2}+1) &= (3x_{2}-2)\cdot (x_{1}+1)\Rightarrow\\\\ 3x_{1}x_{2}+3x_{1}-2x_{2}-2&=3x_{1}x_{2}+3x_{2}-2x_{1}-2\Rightarrow\\\\ 3x_{1}-2x_{2} &=3x_{2}-2x_{1}\Rightarrow\\\\ 3x_{1}+2x_{1}&=3x_{2}+2x_{2}\Rightarrow\\\\ 5x_{1} &=5x_{2}\Rightarrow\\\\ x_{1}&=x_{2} \end{align*}

Άρα η συνάρτηση f είναι 1-1, οπότε είναι αντιστρέψιμη, οπότε έχουμε:

    \begin{displaymath} \begin{tabular}{|c|} \hline $f(x)=y$ \\ $ x = f^{^{-1}}(y).$\\ \hline \end{tabular} \end{displaymath}

δηλαδή

    \begin{align*} &f(x)=y\Leftrightarrow \\\\ &\frac{3x-2}{x+1}=y\Leftrightarrow \\\\ &3x-2= (x+1)\cdot y\Leftrightarrow \\\\ & 3x-2=yx+y \Leftrightarrow\\\\ &3x-yx =2+y \Leftrightarrow\\\\ &x\cdot(3-y) =2+y \Leftrightarrow\\\\ & x=\dfrac{2+y}{3-y} \quad \quad \mu\epsilon \quad 3-y \neq 0 \end{align*}

Επειδή x =f^{^{-1}}(y) έχουμε ότι f^{^{-1}}(y)= \dfrac{2+y}{3-y}.
Για να ορισθεί πλήρως η f^{^{-1}} πρέπει να βρούμε και το πεδίο ορισμου της, λαμβάνοντας υπόψιν τους παρακάτω περιορισμούς:

3-y \neq 0 και x \in A_{f}=\mathbb{R}-\{-1\}.
Επειδή έχουμε βρει x=\dfrac{2+y}{3-y} τότε:

    \begin{align*} &x \in A_{f}=\mathbb{R}-\{-1\}\Leftrightarrow \\\\ & x\neq -1\Leftrightarrow \\\\ &\dfrac{2+y}{3-y}\neq -1\Leftrightarrow \\\\ &2+y \neq (3-y)\cdot(-1)\Leftrightarrow \\\\ &2+y \neq -3 +y\Leftrightarrow \\\\ &2 \neq -3. \end{align*}

Που ισχύει άρα αρκεί μονο να ισχύει 3-y \neq 0\Leftrightarrow y \neq 3
και τελικα για την f^{^{-1}} έχουμε:

    \[A_{f^{-1}}=\mathbb{R}-\lbrace 3\rbrace\]

και τύπο

    \[f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3-x}.\]

Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις 2^{\text{ου}} βαθμού, με πεδίο ορισμού το \mathbb{R}, δεν είναι αντιστρέψιμες. Όμως αν έχουν πεδίο ορισμού κατάλληλο διάστημα μπορεί να είναι 1-1.

Παράδειγμα.2
Δίνεται η συνάρτηση f:[2,+\infty)\rightarrow\mathbb{R} με f(x)=x^2-4x+5

i) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

ii) Να βρείτε την f^{-1}.
Λύση
i) Παρατηρούμε ότι:

    \begin{align*} &f(x)=x^2-4x+5\Leftrightarrow\\ &f(x)=x^2-4x+4+1\Leftrightarrow\\ &f(x)=x^2-4x+2^2+1\Leftrightarrow\\ &f(x)=(x-2)^2+1\Leftrightarrow\\ & f(x)=(x-2)^2+1. \end{align*}

Έστω x_{1},x_{2}\in[2,+\infty) με f(x_{1})=f(x_{2}). Έχουμε:

    \begin{align*} &f(x_1)=f(x_2)\Rrightarrow\\ &(x_1-2)^2+1=(x_2-2)^2+1\Rightarrow\\ &(x_1-2)^2=(x_2-2)^2\Rightarrow\\ &\sqrt{(x_1-2)^2}=\sqrt{(x_2-2)^2}\Rightarrow\\ &|x_1-2|=|x_2-2|\stackrel{^{x_1,x_2>2}}{\Rightarrow}\\ &x_1-2=x_2-2\Rightarrow\\ & x_1=x_2 \end{align*}

Άρα η f είναι 1-1, οπότε είναι αντιστρέψιμη.
ii) Αφού η f είναι αντιστρέψιμη θα ισχύει:

    \begin{displaymath} \begin{tabular}{|c|} \hline $f(x)=y$ \\ $ x = f^{^{-1}}(y).$\\ \hline \end{tabular} \end{displaymath}

Δηλαδή:

    \begin{align*} &f(x)=y\Leftrightarrow\\ &(x-2)^2+1 = y \Leftrightarrow\\ &(x-2)^2=y-1 \Leftrightarrow \quad \mu\epsilon \quad y-1\geq 0\\ & \sqrt{(x-2)^2}=\sqrt{y-1} \Leftrightarrow\\ &|x-2|=\sqrt{y-1} \stackrel{^{x\geq 2}}{\Leftrightarrow}\\ &x-2=\sqrt{y-1} \Leftrightarrow\\ &x=\sqrt{y-1}+2. \end{align*}

Αφού είναι x = f^{^{-1}}(y) τότε f^{^{-1}}(y)=\sqrt{y-1}+2.
Για να βρούμε το πεδίο ορισμου πρέπει να λάβουμε υπόψιν τους παρακατω περιοσρισμούς
y-1\geq 0\Leftrightarrow y\geq 1
και x\in A_{f}=[2,+\infty) με x=\sqrt{y-1}+2. δηλαδή

    \begin{align*} &x\in A_{f}=[2,+\infty)\Leftrightarrow\\ &x\geq 2 \Leftrightarrow\\ & \sqrt{y-1}+2 \geq 2 \Leftrightarrow\\ & \sqrt{y-1}\geq 0. \end{align*}

που ισχύει για κάθε y\geq 1. άρα η f^{^{-1}} είναι πλήρως ορισμένη με

    \[f^{^{-1}}(x)=\sqrt{x-1}+2,\quad \kappa\alpha\iota \quad A_{f^{-1}}=[1,+\infty).\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα. Δ.Α.Παπακωνσταντίνου, αυτοέκδοση.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

2 απαντήσεις στο “ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ”

  1. Λάθος δε είναι σε καμία περίπτωση αλλά… θεωρώ ότι είναι περιττή η απόδειξη της 1-1 αρχικά. Λύνοντας την f(x)=y ως προς x και δεδομένου ότι έχει μοναδική λύση ως προς x για και y του συνόλου τιμών της f, αυτό αρκεί για να πούμε ότι η f είναι 1-1 και απευθείας να βρούμε την αντίστροφη της.

    Απάντηση
  2. Παράθεμα: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *