ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
Ορισμός
Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων $\vec{\boldsymbol{α}}$ και $\vec{\boldsymbol{\beta}},$ και το συμβολίζουμε με $\vec{\boldsymbol{α}} \cdot \vec{\boldsymbol{\beta}},$ τον πραγματικό αριθμό:

$\vec{α} \cdot \vec{\beta}=\lvert{\vec{α}}\rvert \lvert{\vec{\beta}}\rvert \sigma \upsilon \nu \phi$

όπου $\phi$ είναι η γωνία των διανυσμάτων $\vec{α}$ και $\vec{\beta}.$
Αν $\vec{α}=0$ ή $\vec{\beta}=0,$ τότε ορίζουμε $\vec{α} \cdot \vec{\beta}=0.$
Ιδιότητες
Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου διανυσμάτων προκύπτει ότι ισχύουν τα εξής:

$\vec{α} \cdot \vec{\beta}=\vec{\beta} \cdot \vec{α}$ (αντιμεταθετική ιδιότητα)

$\vec{α} \perp \vec{\beta}=\vec{α} \cdot \vec{\beta}=0$

$\vec{α} \uparrow \uparrow \vec{\beta} \Leftrightarrow \vec{α} \cdot \vec{\beta}=\lvert{\vec{α}}\rvert \cdot\lvert{\vec{\beta}}\rvert$
$\vec{α} \uparrow\downarrow \vec{\beta} \Leftrightarrow \vec{α} \cdot \vec{\beta} = - \lvert{\vec{α}}\rvert \cdot \lvert{\vec{\beta}}\rvert$

${\vec{α}}^2 = {\lvert{\vec{α}}\rvert}^2,$ όπου ${\vec{α}}^2 =\vec{α} \cdot \vec{α}$

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
Έχουμε:

$\vec{α} \cdot \vec{\beta}=\lvert{\vec{α}}\rvert \lvert{\vec{\beta}}\rvert \sigma \upsilon \nu \phi$

$\vec{α} \cdot \vec{\beta}=\lvert{\vec{α}}\rvert \lvert{\vec{\beta}}\rvert \cdot \syn \dfrac{\pi}{3}$

$\vec{α} \cdot \vec{\beta}=4\cdot 3 \cdot \dfrac{1}{2}$

$\vec{α} \cdot \vec{\beta}= \dfrac{4\cdot 3}{2}$

$\vec{α} \cdot \vec{\beta} =2\cdot 3$

$\vec{α} \cdot \vec{\beta} =6.$

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

α.) Αφού $\vec{α} \uparrow \uparrow \vec{\gamma},$ ισχύει ότι:

$(\widehat{\vec{\boldsymbol{α}},\vec{\boldsymbol{\gamma}}})=0^{^{o}} \quad \text{οποτε } \quad \syn 0^{^{o}} =1$

έχουμε:

$\vec{α} \cdot \vec{\gamma}=\lvert{\vec{α}}\rvert \cdot\lvert{ \vec{\gamma}}\rvert \cdot\sigma \upsilon \nu (\widehat{\vec{\boldsymbol{α}},\vec{\boldsymbol{\gamma}}})$

$\vec{α} \cdot \vec{\gamma}=\lvert{\vec{α}}\rvert \cdot\lvert{ \vec{\gamma}}\rvert \cdot\syn 0^{^{o}}$

$\vec{α} \cdot \vec{\gamma}=\lvert{\vec{α}}\rvert \cdot\lvert{ \vec{\gamma}}\rvert \cdot 1$

$\vec{α} \cdot \vec{\gamma}=\rvert \vec{α} \lvert \cdot\rvert \vec{\gamma} \lvert$

$12=\rvert \vec{α} \lvert \cdot 3$

$\rvert \vec{α} \lvert=4$

β.) Σύμφωνα με τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων είναι:

$\vec{α} \cdot \vec{\beta}=\lvert{\vec{α}}\rvert \cdot \lvert{\vec{\beta}}\rvert \cdot\sigma \upsilon \nu(\widehat{\vec{α},\vec{\beta}})\Leftrightarrow$

$\vec{α} \cdot \vec{\beta}=4 \cdot 5 \cdot \sigma \upsilon \nu(120^{\circ}) \Leftrightarrow$

$\vec{α} \cdot \vec{\beta}=20 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \Leftrightarrow$

$\vec{α} \cdot \vec{\beta}=-10.$

Σημείωση

$\sigma \upsilon \nu30^{\circ}=\sigma \upsilon \nu\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\sigma \upsilon \nu45^{\circ}=\sigma \upsilon \nu\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\sigma \upsilon \nu60^{\circ}=\sigma \upsilon \nu\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$

$\sigma \upsilon \nu150^{\circ}=\sigma \upsilon \nu\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\sigma \upsilon \nu135^{\circ}=\sigma \upsilon \nu\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\sigma \upsilon \nu120^{\circ}=\sigma \upsilon \nu\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$

$\sigma \upsilon \nu0^{\circ}=\sigma \upsilon \nu0=1$

$\sigma \upsilon \nu90^{\circ}=\sigma \upsilon \nu\dfrac{\pi}{2}=0$

$\sigma \upsilon \nu180^{\circ}=\sigma \upsilon \nu\pi=-1$

Ασκήσεις:

Αν το διάνυσμα $\vec{\alpha}$ είναι μοναδιαίο, $|\vec{\beta}| = 2$ και $(\widehat{\vec{\alpha}, \vec{\beta}}) = \dfrac{2\pi}{3},$ να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα:
i.) $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta},$
ii.) $(\vec{\alpha} - 2\vec{\beta}) \cdot (\vec{\alpha} - \vec{\beta}),$
iii.) $(\vec{\alpha} - 3\vec{\beta})^2.$
Αν τα διανύσματα $\vec{\alpha}, \vec{\beta}$ είναι μοναδιαία και ισχύει $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 1,$ να αποδείξετε ότι $\vec{\alpha} = \vec{\beta}.$
Αν $|\vec{\alpha}| = 1, |\vec{\beta}| = 2, (\widehat{\vec{\alpha}, \vec{\beta}}) = 60^{\circ}$ και $\vec{\alpha} + \vec{\beta} + \vec{\gamma} = \vec{0},$ να υπολογίσετε το:
i.) $\vec{\gamma},$ συναερτήσει των $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}.$
ii.) $\vec{\alpha} \cdot \vec{\gamma} + \vec{\beta} \cdot \vec{\gamma}.$

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. .

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Ν. Α. Διακόπουλος

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά