Γ Λυκείου / ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΟΡΙΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΜΗΔΕΝ ΠΡΟΣ ΜΗΔΕΝ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Όταν έχουμε όριο άρρητης συνάρτησης (περιέχει ρίζες) της μορφής \dfrac{0}{0}, \, τότε πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τη συζυγή παράσταση του όρου (ή των όρων) που περιέχει ρίζα. Στην συνέχεια παραγοντοποιούμε (αν χρειαστεί) και απλοποιούμε.

  • Στις παραστάσεις με τετραγωνικές ριζες, συζυγείς ονομάζουμε τις παραστάσεις που το γινόμενο τους δημιουργεί διαφορά τετραγώνων.

    • Δηλαδή

    * Η παράσταση \sqrt{A}-B έχει συζυγή την \sqrt{A}+B αφού

        \[(\sqrt{A}-B)\cdot(\sqrt{A}+B) =\sqrt{A}^{2}-B^{2}.\]

    * Η παράσταση A-\sqrt{B} έχει συζυγή την A+\sqrt{B} αφού

        \[(A-\sqrt{B})\cdot(A+\sqrt{B}) =A^{2}-\sqrt{B}^{2}.\]

    * Η παράσταση \sqrt{A}-\sqrt{B} έχει συζυγή την \sqrt{A}+\sqrt{B} αφού

        \[(\sqrt{A}-\sqrt{B})\cdot(\sqrt{A}+\sqrt{B}) =\sqrt{A}^{2}-\sqrt{B}^{2}.\]

  • Στις απροσδιόριστες μορφες μηδεν προς μηδεν, που περιέχουν παραστάσεις με κυβικές ριζες, συζυγείς ονομάζουμε τις παραστάσεις που το γινόμενο τους δημιουργεί διαφορά κυβων.

    • * Η παράσταση \sqrt[3]{A}-\sqrt[3]{B} έχει συζυγή την

        \[\sqrt[3]{A}^2+\sqrt[3]{A}\cdot\sqrt[3]{B}+\sqrt[3]{B}^2\]

    Αφού
    (\sqrt[3]{A}-\sqrt[3]{B})\cdot (\sqrt[3]{A}^2+\sqrt[3]{A}\cdot\sqrt[3]{B}+\sqrt[3]{B}^2)= \sqrt[3]{A}^{3}-\sqrt[3]{B}^{3}

    Παράδειγμα.1
    Να υπολογισθεί το όριο \,\, \displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{\sqrt{3-x}-1}{2-x}\quad \quad

    Λύση
    Αν στο όριο \displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{3-x}-1}{2-x} αντικαταστήσουμε όπου x το 2 προκύπτει μορφή \dfrac{0}{0}.
    Για να υπολογίσουμε το όριο, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστη, του κλάσματος με τη συζυγή παράσταση του αριθμητή η οποία είναι η \sqrt{3-x}+1.
    Έχουμε:

        \begin{align*} \lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{3-x}-1}{2-x} = & \lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{3-x}-1}{2-x}\cdot \frac{\sqrt{3-x}+1}{\sqrt{3-x}+1}\\\\ = & \lim_{x \to 2}\frac{(\sqrt{3-x}-1)\cdot(\sqrt{3-x}+1)}{(2-x)\cdot(\sqrt{3-x}+1)}\\\\ = & \lim_{x \to 2}\frac{(\sqrt{3-x})^2-1^2}{(2-x)\cdot(\sqrt{3-x}+1)}\\\\ = & \lim_{x \to 2}\frac{3-x-1}{(2-x)\cdot(\sqrt{3-x}+1)}\\\\ = & \lim_{x \to 2}\frac{2-x}{(2-x)\cdot(\sqrt{3-x}+1)}\\\\ = & \lim_{x \to 2}\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}\\\\\ = & \dfrac{1}{\sqrt{3-2}+1}= \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}. \end{align*}

    Παράδειγμα.2
    Να υπολογισθεί το όριο \,\,\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}
    Λύση
    Το \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x} είναι της μορφής \dfrac{0}{0}.
    Πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με τη συζυγή παράσταση του αριθμητή, η οποία είναι \sqrt[3]{x+1}^2+\sqrt[3]{x+1}+1.
    Έχουμε:

        \begin{align*} &\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}= \\\\ & \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}\cdot \frac{\sqrt[3]{x+1}^2+\sqrt[3]{x+1}+1}{\sqrt[3]{x+1}^2+\sqrt[3]{x+1}+1}=\\\\ & \lim_{x \to 0}\frac{\big(\sqrt[3]{x+1}-1\big)\cdot \big(\sqrt[3]{x+1}^2+\sqrt[3]{x+1}+1\big)}{x\cdot \big(\sqrt[3]{x+1}^2+\sqrt[3]{x+1}+1\big)} =\\\\ & \lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt[3]{x+1})^3-1}{x\cdot(\sqrt[3]{x+1}^2+\sqrt[3]{x+1}+1)}=\\\\ & \lim_{x \to 0}\frac{x+1-1}{x\cdot(\sqrt[3]{x+1}^2+\sqrt[3]{x+1}+1)}=\\\\ & \lim_{x \to 0}\frac{x}{x\cdot(\sqrt[3]{x+1}^2+\sqrt[3]{x+1}+1)}=\\\\ & \lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt[3]{x+1}^2+\sqrt[3]{x+1}+1}=\\\\ & \frac{1}{\sqrt[3]{0+1}^2+\sqrt[3]{0+1}+1}= \frac{1}{3} \end{align*}

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *